多期收益复合：连乘的完整算术
我的掌握程度：
先掌握这个答案
复合规则：总简单收益=(1+r1)(1+r2)...(1+rn)−1（连乘减一）；对数口径：总对数收益=Σln(1+r_t)（直接相加）。相加为何高估：算术和忽略了"亏损后需要更大的涨幅回本"的非对称（-50%需+100%）——连乘如实记录这一不对称。工程写法：numpy的np.prod(1+r)−1 或 np.exp(np.log1p(r).sum())−1；pandas的(1+df).cumprod()生成净值序列。
先读结论，再核对下方使用边界；数字例题为教学情景，涉及实际行情与规则时请核对原始来源。
从理解到使用
本阶段实战方法 · 每个统计量都要带单位和假设
计算收益、波动、回归、显著性或相关性时，先明确样本和推断条件。
- 写清收益频率、样本数、缺失处理、是否含费用；百分数与小数不可混用。
- 手算一组小样本，再用代码复算；区分算术均值年化、复合年化和年化波动。
- 解释假设不成立会发生什么：自相关、肥尾、非平稳与多次试验都会影响结论。
使用边界
- p值不是原假设为真的概率，也不是策略未来盈利概率。
- 日波动×√252依赖时间聚合假设；252是教学常用交易日数，实际市场与口径可能不同。
打开术语词典，随时查阅基础概念。
背景 · 从一个困惑说起
月收益率表摆在面前：+4%、-2%、+3%、+1%——总收益是多少？新手脱口而出4-2+3+1=6%；账户里的真实数字是1.04×0.98×1.03×1.01-1≈6.15%——差得不多？换一组极端数字就现形：+50%、-50%的算术和是0，连乘是-25%。
由此产生的问题
多期复合的完整算术规则是什么？为什么相加总是高估？连乘在工程上怎么写最不容易错？
核心概念
复合规则：总简单收益=(1+r1)(1+r2)...(1+rn)−1（连乘减一）；对数口径：总对数收益=Σln(1+r_t)（直接相加）。相加为何高估：算术和忽略了"亏损后需要更大的涨幅回本"的非对称（-50%需+100%）——连乘如实记录这一不对称。工程写法：numpy的np.prod(1+r)−1 或 np.exp(np.log1p(r).sum())−1；pandas的(1+df).cumprod()生成净值序列。
为什么需要它
①一切净值计算的内核：回测引擎、基金净值、指数点位全是这行算术的循环；②高估的量级直觉：波动越大，算术和与真实复合的差距越大（差≈σ²/2，q-208的波动拖累预演）；③防错价值：混用相加与连乘是新手回测的第一大算术bug——差值在长周期可达两位数百分比。
实际应用场景
净值曲线=(1+r).cumprod()；年化=(期末净值)^(252/天数)−1（q-205衔接）；对数收益求和再exp=完全等价的另一条路（验证代码正确性的双通道）。
与之前知识的联系
q-201的公式家族第一条落地为计算；q-011（阶段1复利）的直觉获得精确算术；q-206的√252建立在这些和式性质之上。
⚠ 常见误解
- 月收益加起来就是年收益：+10%与-10%相加是0、连乘是-1%——波动下加法永远高估
- 连乘顺序影响结果：乘法交换律保证顺序无关；影响的只是"路径"（回撤），不是终点
- 对数收益相加是近似：完全精确——ln((1+r1)(1+r2))=ln(1+r1)+ln(1+r2)是恒等式不是近似
🛠 本题实践任务
下载任一指数近12个月月度收益，分别用相加与连乘计算年度收益，记录差值。再模拟±10%交替24个月的净值终点。
💡 提示（先自己想5分钟再看）
月度收益=月末收盘pct_change；差值=波动的价格标签。
✅ 验收标准
两个年度收益数字+差值。亲手看过一次差距，你终生不会再犯加法错误。
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